Computaci=F3n: M=E1quina de Turing

0.1.1 Computaci=F3n: M=E1quina de Turing

"... =BFQu=E9 significa esto en lo que se refiere = al universo=20 f=EDsico? La respuesta de Wheeler a esta pregunta es tan asombrosa = como=20 profunda. Concluye que ya no podemos seguir considerando el = universo como=20 un hardware que existe "ah=ED fuera", sino que debemos empezar a = verlo como=20 compuesto por un "software 'significativo'" y situado, como dice = Wheeler,=20 "qui=E9n sabe d=F3nde". En otras palabras, hemos empezado a ver el = universo=20 como constituido en definitiva no por materia y energ=EDa, sino = por pura=20 informaci=F3n". Michael Talbot. "Mas all=E1 de la Teor=EDa = Cu=E1ntica".=20 Edit. Gedisa 3=AA Edici=F3n 1995 Barcelona.

=A71 Presentaci=F3n

Encontra de lo que pudiera parecer, la ciencia de la = computaci=F3n y las=20 teor=EDas sobre computabilidad no pertenecen a la disciplina que = hoy=20 conocemos como "Inform=E1tica", sino a las matem=E1ticas, que son, = con mucho,=20 anteriores a aquella.

A principio del siglo XX, el campo de la matem=E1tica te=F3rica = estaba en=20 plena efervescencia, gracias sobre todo a los trabajos de Hilbert = y=20 G=F6del. En particular Hilbert hab=EDa planteado ciertas = cuestiones que=20 derivaron en las teor=EDas de la computaci=F3n y la = computabilidad, en=20 concreto cual ser=EDa el significado de la computabilidad de un=20 procedimiento.

En matem=E1ticas se considera que un m=E9todo o procedimiento = es efectivo=20 para obtener un resultado cuando se cumple que:

El procedimiento puede ser expresado mediante un algoritmo = (un=20 n=FAmero finito de instrucciones concretas =20 1.2.1); =20 en el que cada instrucci=F3n puede ser expresada por un n=FAmero = finito de=20 s=EDmbolos.
El procedimiento puede ser seguido sin error para conseguir = el=20 resultado en un n=FAmero finito de pasos.
El procedimiento puede ser (al menos te=F3ricamente) seguido = por un=20 humano sin m=E1s ayuda que un papel y l=E1piz.
El procedimiento no exige ninguna habilidad o inteligencia = especial=20 por parte de la persona que lo ejecuta. En lenguaje = coloquial=20 dir=EDamos que "hasta un tonto podr=EDa hacerlo". La idea = es que solo=20 haya que seguir ciertas reglas de forma mec=E1nica. Por = esta raz=F3n=20 cuando se cumplen estas condiciones se dice que el procedimiento = es=20 efectivo o "mec=E1nico".

Para dar una definici=F3n matem=E1ticamente precisa de lo = que es un=20 algoritmo, Turing ide=F3 un dispositivo imaginario al que = denomin=F3 M=E1quina=20 de computaci=F3n l=F3gica LCM ("Logical Computing Machine"), pero = que ha=20 recibido en su honor el nombre de m=E1quina de = Turing. Aunque=20 su propuesta es anterior a la aparici=F3n de los computadores = digitales=20 (1936 "On computable numbers, with an application to the=20 Entscheidungproblem"), actualmente es el objeto central de estudio = de los=20 te=F3ricos de la computaci=F3n. Precisamente la definici=F3n = moderna de lo=20 que es "Computable" se basa en este concepto, y del mismo modo que = cuando=20 se habla de inteligencia artificial es inevitable referirse al = Test de=20 Turing, cuando se habla de algoritmos y computaci=F3n es casi = inevitable=20 encontrar alguna referencia a la m=E1quina de Turing [1]. Por = si esto=20 fuera poco, los conceptos subyacentes en la idea han jugado un = papel=20 importante en las recientes teor=EDas filos=F3ficas sobre la = mente.

Lo que confiere al dispositivo su extraordinaria importancia es = que es=20 capaz de resolver cualquier problema matem=E1tico a condici=F3n de = que haya=20 sido reducido a un algoritmo.

Nota: Una buena introducci=F3n al = tema en la=20 Enciclopedia Stanford de Filosof=EDa: Hodges, Andrew, "Alan=20 Turing" plato= .stanford.edu.

=A72 La m=E1quina de Turing

Una m=E1quina de Turing es un aut=F3mata que se mueve sobre una = secuencia=20 lineal de datos. En cada instante la m=E1quina puede leer un = solo dato=20 de la secuencia (generalmente un car=E1cter) y realiza ciertas = acciones en=20 base a una tabla que tiene en cuenta su "estado" actual (interno) = y el=20 =FAltimo dato le=EDdo. Entre las acciones est=E1 la = posibilidad de=20 escribir nuevos datos en la secuencia; recorrer la secuencia = en=20 ambos sentidos y cambiar de "estado" dentro de un conjunto finito = de=20 estados posibles.

En realidad la m=E1quina de Turing es m=E1s una abstracci=F3n = matem=E1tica que=20 un dispositivo f=EDsico o mec=E1nico. El hecho que se le = denomine=20 "m=E1quina" se debe a que su funcionamiento puede ser descrito en = t=E9rminos=20 de operaciones individuales muy sencillas que sugieren una = implementaci=F3n=20 real muy simple, lo que ha motivado que existan muchas versiones = pr=E1cticas=20 del mismo.

Existen diversas "variedades" de una m=E1quina de Turing, pero = la m=E1s=20 simple puede ser descrita diciendo que es cualquier dispositivo = que cumple=20 las siguientes condiciones:

Tiene una cinta sobre la que puede desplazarse a izquierda y = derecha=20 un cabezal de lectura/escritura. La cinta contiene una = serie de=20 celdas, y en cada una de ellas puede escribirse un s=EDmbolo de = un=20 conjunto finito; este conjunto de s=EDmbolos se denomina = el=20 alfabeto de la m=E1quina [2]. = En=20 principio todas las celdas que no se hayan escrito antes = contienen un=20 car=E1cter especial nulo o vac=EDo (que se representa por = 0 o=20 #). La cinta puede contener tantas celdas a derecha = e=20 izquierda del cabezal como sean necesarias para el = funcionamiento de la=20 m=E1quina.
El cabezal puede moverse a derecha (R) a izquierda (L) de su = posici=F3n=20 actual, as=ED como leer el contenido de una celda o escribir en = ella=20 cualquier car=E1cter de su alfabeto.
Existe un registro de estado que almacena el estado de = la=20 m=E1quina. El n=FAmero de estados posibles es finito, y no = se exige=20 ning=FAn estado especial con el que sea iniciada la = m=E1quina.
Existe una tabla de acci=F3n [3], que = contiene las=20 instrucciones de lo que har=E1 el aut=F3mata. Estas = instrucciones=20 representan en cierta forma el "programa" de la m=E1quina. = Las=20 ejecuci=F3n de cada instrucci=F3n de la tabla de acci=F3n = incluye cuatro=20 pasos:=20
- Leer un car=E1cter en la posici=F3n actual.
- Escribir un nuevo s=EDmbolo en esta posici=F3n (puede ser = el mismo que=20 hab=EDa). El s=EDmbolo a escribir es alguno del alfabeto = de la=20 m=E1quina, y depende del car=E1cter le=EDdo y del estado = actual.
- Desplazar el cabezal una celda a derecha o izquierda = (R/L); =20 en algunos modelos el desplazamiento puede ser nulo (detener=20 H).
- Decidir cual ser=E1 el nuevo estado en funci=F3n del = car=E1cter que se=20 acaba de leer y del estado actual. Si la tabla de = acci=F3n no=20 contiene ninguna correspondencia con el estado actual y el = s=EDmbolo=20 le=EDdo, entonces la m=E1quina detiene su=20 funcionamiento.

En los modelos did=E1cticos computarizados [5] la tabla = suele=20 definirse mediante una matriz de cinco columnas que contiene:

Estado/Car=E1cter-le=EDdo/Car=E1cter-a-escribir/Movimiento= /Nuevo-estado

+---+---++---+---+---+
| S | R || W | M | = N=20 |
+---+---++---+---+---+
| 0 | 0 || 0 | R | 0 |
| 0 = | 1 ||=20 1 | R | 1 |
| 1 | 0 || 1 | R | 2 |
| 1 | 1 || 1 | R | = 1 |
|=20 2 | 0 || 0 | H | 2 |
| 2 | 1 || 0 | H | 2=20 |
+---+---++---+---+---+

S =3D Estado = actual
R =3D=20 Car=E1cter le=EDdo
W =3D Car=E1cter escrito
M =3D = Direcci=F3n del=20 movimiento
N =3D Nuevo estado

En el recuadro se incluye una muestra de una de estas = tablas. =20 Representa el comportamiento de una m=E1quina de turing que es = capaz de=20 sumar 1 a cualquier n=FAmero unario ( 0.1). El=20 alfabeto solo tiene dos s=EDmbolos: Vac=EDo (0) y valor = (1). La=20 m=E1quina puede adoptar tres estados diferentes numerados del 0 al = 2 (es=20 costumbre se=F1alar el estado inicial con 0). El movimiento = H ("Halt")=20 significa no desplazar el cabezal. En este caso la m=E1quina = se=20 detiene (o entra en un bucle sin fin).

Tambi=E9n es posible representar la tabla de acci=F3n mediante = un=20 grafo. Los diferentes estados internos se representan por=20 c=EDrculos. Los cambios de estado con flechas a las que se = a=F1ade una=20 leyenda. Generalmente se utiliza una flecha para se=F1alar = el estado=20 inicial. En la figura 1 se muestra el grafo correspondiente = a la=20 tabla.

Es notable que el dise=F1o de Turing contiene de forma = impl=EDcita la idea=20 de que el aut=F3mata puede alterar su propio programa, pero el = punto m=E1s=20 significativo de su filosof=EDa de funcionamiento es que se = comporta como la=20 mente, en el sentido que la configuraci=F3n interna de la = m=E1quina establece=20 el entorno en el que se toman las decisiones, de forma que la = acci=F3n=20 depende de dos factores: el estado interno y la = informaci=F3n externa=20 que puede "ver" a trav=E9s de su cabezal [6]. La=20 consecuencia es que es imposible predecir su comportamiento de la = simple=20 inspecci=F3n de su tabla de acci=F3n, ya que el comportamiento = depende tambi=E9n=20 de la entrada recibida.

El hecho que el n=FAmero de estados posibles y su alfabeto sea = finitos,=20 califica a estos aut=F3matas como m=E1quinas de estados = finitos FSM=20 ("Finite State Machine").

Nota: algunos te=F3ricos sostienen = que la genuina=20 m=E1quina de Turing solo utiliza un alfabeto unario, mientras que = una=20 m=E1quina de estados finitos es m=E1s general y puede utilizar un = alfabeto con=20 m=E1s s=EDmbolos.

Es significativo que la cinta puede extenderse = indefinidamente a=20 derecha e izquierda, lo que hace que en la pr=E1ctica sea = imposible=20 construir un modelo real de lo que se denomina un sistema de = Turing=20 completo (ver a continuaci=F3n =A74 ). Es tambi=E9n destacable que la m=E1quina da a = la cinta tres=20 utilizaciones distintas:

Como elemento de almacenamiento de los datos de entrada (de=20 capacidad potencialmente ilimitada)
Como elemento de salida (de cualquier cantidad de = datos)
Como almacenamiento de informaci=F3n intermedia durante el = proceso=20 (puede ser de cualquier tama=F1o).

Aunque tanto el alfabeto utilizado como el n=FAmero de estados = son=20 finitos, lo que confiere su potencia a la m=E1quina de Turing = (adem=E1s de su=20 dise=F1o genial) es su almacenamiento ilimitado. Turing = prob=F3 que este=20 aut=F3mata es tambi=E9n un computador universal. Es decir, = que puede=20 emular el comportamiento de cualquier dispositivo cuyo = comportamiento=20 pueda ser expresado simb=F3licamente mediante un algoritmo.

=A73 Ejemplo

S	R	W	M	N
e0	1	0	R	e1
e1	1	1	R	e1
e1	0	0	R	e2
e2	0	1	L	e3
e2	1	1	R	e2
e3	1	1	L	e3
e3	0	0	L	e4
e4	1	1	L	e4
e4	0	1	R	e0

S: Estado=20 anterior=20

R: S=EDmbolo le=EDdo=20

W: S=EDmbolo a = escribir=20

M: Movimiento = (R, L).=20

N: Nuevo=20 estado.

Supongamos una m=E1quina de Turing con un alfabeto unario, en = la que el=20 nulo (ausencia de dato) lo se=F1alamos con 0. La = m=E1quina puede=20 tener cinco estados que denominamos {e0, e1, = e2,=20 e3, e4}. El estado inicial es e0; su = tabla=20 de acci=F3n se muestra a la derecha.

Observe que la tabla debe contener al menos tantas filas como = estados=20 distintos. La primera columna representa lo que pod=EDamos = denominar=20 "estado mental" de la m=E1quina. La segunda columna indica = el car=E1cter=20 le=EDdo; representa la entrada (input) al aut=F3mata. = Las=20 siguientes (en otro color) representan el comportamiento o = respuesta de la=20 m=E1quina para la combinaci=F3n estado/car=E1cter-le=EDdo. = Esta respuesta=20 tiene tres componentes:

Una salida (escribir en la cinta). Indicado en la columna=20 W.
Un movimiento de avance o retroceso del cabezal sobre la = cinta=20 (indicado en la columna M).
Un cambio del estado interno actual del aut=F3mata a otro = nuevo=20 (columna N).

Observe que las filas pueden repetir el primer elemento; =20 significan las acciones a tomar en cada estado seg=FAn el = car=E1cter=20 le=EDdo. Cada vez que se alcanza un estado para el que no = exista una=20 entrada para el car=E1cter le=EDdo, la m=E1quina se detiene. = En nuestro=20 aut=F3mata la tabla se=F1ala acciones concretas para cualquier = car=E1cter le=EDdo=20 (0 o 1) en cualquiera de los estados = e1,=20 e2, e3 y e4, pero si en el estado e0 = se lee un=20 0, la m=E1quina se detiene.

La sucesi=F3n de pasos de c=F3mputo es la siguiente (suponemos = un estado=20 inicial cualquiera ex):

1.- Se lee un car=E1cter c (en = nuestro=20 caso es necesariamente 0 o 1)

2.- Se mira en la tabla que fila = corresponde a=20 la combinaci=F3n ex/c.

3a.- Si no existe entrada la = m=E1quina se=20 detiene.

3b.- Si existe entrada se ejecuta la=20 instrucci=F3n (columnas en marr=F3n claro) en el siguiente = orden:

3b1.- Se escribe en la posici=F3n = actual el=20 car=E1cter se=F1alado (puede ser el mismo que hab=EDa).

3b2.- Se mueve el cabezal una = posici=F3n a=20 izquierda o derecha.

3b3.- Se pasa al estado se=F1alado en = la =FAltima=20 columna (puede implicar no cambiar de estado).

3b4.- Se repite el ciclo desde el = punto=20 1.

Un ejemplo concreto debe comenzar en un estado determinado = y con=20 una cinta que contenga cualquier conjunto no nulo de caracteres = del=20 alfabeto del aut=F3mata. El aut=F3mata de nuestro ejemplo [4] espera = estar situado=20 en el primer car=E1cter (izquierdo) de una cantidad cualquiera = representada=20 en unario ( 0.1). El=20 programa hace que el aut=F3mata lea la cantidad y la repita a la = derecha=20 separadas por un nulo (0). Por ejemplo, si encuentra = 111100000=20 lo transforma en 111101111.

Un ejemplo del proceso de esta m=E1quina puede ser el que se = muestra a=20 continuaci=F3n. Como el n=FAmero de pasos de c=F3mputo hasta = que la=20 m=E1quina se detiene, depende de la cantidad inicial representada = en la=20 cinta, para hacer el ciclo m=E1s breve supondremos que hay un 2=20 (110000...). Los pasos ejecutados por el aut=F3mata para = realizar el=20 proceso se muestran en la tabla inferior. La informaci=F3n = contenida=20 en la cinta para cada paso es la existente "antes" de la = ejecuci=F3n del=20 ciclo correspondiente. El car=E1cter en negrita indica la = posici=F3n de=20 la cabeza en el momento de la lectura.

Paso	Estado	Cinta
1	e0	11000
2	e1	01000
3	e1	01000
4	e2	01000
5	e3	01010
6	e4	01010
7	e4	01010
8	e0	11010
9	e1	10010
10	e2	10010
11	e2	10010
12	e3	10011
13	e3	10011
14	e4	10011
15	e0	11011
	Parada

P1: La m=E1quina ejecuta el primer = paso. Arranca=20 en el estado e0, donde lee un 1; entonces, de = acuerdo=20 con su tabla de acci=F3n escribe un 0 en esa posici=F3n, se = mueve a la=20 derecha y entra en estado e1.

P2: En e1 lee un 1, escribe un 1 y se = mueve a=20 la derecha. Sigue en e1.

P3: En e1 lee 0, escribe 0, se mueve = a la=20 derecha y cambia a e2

P4: En e2 lee 0, escribe 1, se mueve = a la=20 izquierda y cambia a e3

P5: En e3 lee 0, escribe 0, se mueve = a la=20 izquierda y cambia a e4

P6: En e4 lee 1, escribe 1, se = mueve a la=20 izquierda y sigue en e4

El proceso sigue la misma l=F3gica a trav=E9s de los = sucesivos pasos=20 hasta llegar al =FAltimo.

P15: En e0 lee 0; no existe ninguna = entrada en=20 la tabla para esta combinaci=F3n, por lo que el aut=F3mata se = detiene. =20 Comprobamos como al final ha escrito en la cinta la cantidad = esperada:=20 11011.

=A73 Sistema de = Turing=20 completo

Un sistema Turing completo es aquel que puede simular el = comportamiento de una m=E1quina de Turing. Es evidente que = salvando=20 los problemas de memoria, los ordenadores modernos y los = lenguajes=20 de programaci=F3n de uso general, son sistemas de Turing = completos. =20 Tambi=E9n es evidente, que con independencia de su forma concreta, = cualquier=20 dispositivo que se comporte como un sistema de Turing completo, = puede en=20 principio ejecutar cualquier c=E1lculo que realice cualquier = computador.

Nota: Observe que la anterior = afirmaci=F3n no=20 menciona para nada la posible dificultad de escribir el programa o = del=20 tiempo que pueda emplear en realizar el c=E1lculo (cualquier = c=E1lculo que=20 pueda hacer un ordenador puede te=F3ricamente efectuarse con papel = y=20 l=E1piz).

=A74 Recursos Web

La informaci=F3n que puede encontrarse sobre estas cuestiones = en la Red=20 es muy abundante. Apate de la p=E1gina de Andrew Hodge sobre = Turing=20 se=F1alada en la nota , se=F1alar=EDa estas:

Copeland, B. Jack, "The Modern History of Computing" plato.stanford.edu.

En esta p=E1gina de la Stanford Encyclopedia of Philosophy = puede=20 obtenerse una amplia descripci=F3n sobre los or=EDgenes e = historia de la=20 computaci=F3n.

P=E1gina dedicada a la m=E1quina de Turing del = CSLI =20 www-csli.stanford.e= du

El CSLI = ("Center for the=20 Study of Language and Information") es un centro de = investigaci=F3n=20 independiente fundado en 1983 por investigadores de la universidad de Stanford en = California, de SRI = International y del=20 legendario Xerox=20 PARC.

Existen diversos programas que permiten simular y observar el=20 comportamiento de uno de estos aut=F3matas en un PC. Como = adem=E1s de la=20 inform=E1tica, el tema pertenece al =E1mbito de la matem=E1tica = te=F3rica,=20 generalmente han sido desarrollados por profesores de esta = materia. =20 Una caracter=EDstica general es que permiten ejecutar la = computaci=F3n a=20 diversas velocidades seleccionables por el usuario o paso a = paso. A=20 continuaci=F3n se relacionan algunos de los m=E1s = interesantes.

Visual Turing http://www.cheranso= ft.com/vturing/index.html =20 P=E1gina mantenida por Cristian Cheran (Cheran = Software)

Visual Turing es un programa Windows (95, 98, NT, 2000) que = permite=20 experimentar con m=E1quinas de Turing. Dispone de una = avanzada=20 interfaz gr=E1fica que permite cortar, copiar y pegar. Se = pueden ver=20 las variables; permite la ejecuci=F3n paso a paso y = deshacer la=20 =FAltima instrucci=F3n ("Undo").

xTuringMachine Lab math.h= ws.edu

El programa anterior puede resultar sin duda muy avanzado = para el=20 principiante, de forma que para empezar quiz=E1s sea m=E1s = recomendable=20 utilizar este simulador de David J. Eck, del Departamento = de=20 Matem=E1ticas y Ciencia de la computaci=F3n en Hobart and = William Smith=20 Colleges. Es un applet Java que incluye un extenso = comentario=20 y diversos ejercicios. Tambi=E9n puede ser reprogramado = para=20 realizar nuestros propios modelos.

JKTuring homepage.smc.edu

Este programa de John Kennedy, del departamento de = matem=E1ticas del=20 Santa Monica College en California, es un simulador FSM para=20 Windows. El autor presenta adem=E1s una interesante = colecci=F3n de=20 programas para el aprendizaje de las = matem=E1ticas.

3D""=20 Inicio.

[1] El Test de Turing y la = m=E1quina de Turing=20 se refieren a conceptos distintos, aunque ambos ostentan el nombre = de Alan=20 Mathison Turing. Famoso matem=E1tico ingl=E9s (1912-1954) = cuyas=20 contribuciones en el campo de la matem=E1tica y de la teor=EDa de = la=20 computaci=F3n le han valido ser considerado uno de los padres de = la=20 computaci=F3n digital. Alan Turing home page http://www.turing.org.uk/turing= /

[2] Esta cinta es la representaci=F3n = de una=20 memoria. En los ordenadores digitales binarios el alfabeto = solo=20 tiene dos s=EDmbolos representados por el '0' y el '1'. = Dentro de las=20 limitaciones de memoria, un ordenador digital moderno es una = m=E1quina de=20 Turing.

[3] En el ordenador digital la tabla de = acci=F3n=20 est=E1 representada por el programa.

[4] Ejemplo tomado de Wikipedia ("The = free=20 Encyclopedia") http://www.wikipedia.org= /wiki/Main_Page. =20 Publicado bajo las condiciones de la "GNU Free Documentation = License".

[5] Son los m=E1s frecuentes (ver = referencias Web=20 ), pero se han construido tambi=E9n modelos = mec=E1nicos, en cuyo=20 caso la tabla de acci=F3n puede estar representada de otra = forma.

[6] El contenido de la "vantana", = representado=20 por los caracteres que pasan delante del cabezal de lectura, es lo = que se=20 denomina universo de Turing.

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